機体の機動性を直観的に示す方法

Ps(エネルギー比率)が上昇率になる理由の考察

エネルギー機動ダイアグラムにはPs(エネルギー比率)の０ラインとプラス、マイナスのラインがプロットされています。そしてPsラインの単位は上昇率[feet/s][m/s]です。
何故、Psの定義式の示す値が上昇率になるかの考察です。

Considerations on Why the Ps (Energy Ratio) in the Energy Maneuver Diagram Becomes the Rate of Increase

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「1stガンダム」の二次創作考察設定です。FMA「航空 機動／兵装」テイストです。
「FMA考察設定－G」

「エネルギー機動ダイアグラム」とは

エネルギー機動ダイアグラムは、一定の高度における速度を横軸に旋回率を縦軸にし、旋回の荷重倍数（旋回[G]）、旋回半径の補助線を加え※１、Ｐｓ(エネルギー比率)をプロットしたダイアグラムです。

出典：「F-15のエネルギー機動ダイアグラム作成 rev.4」

※１．等速円運動の舞台には、速度、加速度、角速度、半径の4人がいます。このうちの二人が演技をすると、残り二人の演技もそれに合わせなくてはいけないので、舞台上の4人は唯一に決定されます。
これから、横軸で速度、縦軸で角速度（旋回率）が決まるダイアグラム上の任意の点は、速度、加速度、角速度、半径の等速円運動の全ての情報を示しています。
4人のプロフィール単位は、
　速度V：[m/s][Ｍ(マッハ数)]
　円運動の向心力加速度ａ：[m/s^2][G]
　角速度ω：[rad/s][度/秒]
　半径Ｒ：[m][km][feet][nm]
が使用されます。

Ps(エネルギー比率)の定義式

Ps(エネルギー比率)の定義式は以下になります。

Ps=V･(Ｔ－Ｄ)/Ｗ＝速度・(推力－抗力)/機体重量
　Ｖ：速度[m/s]
　Ｔ：推力[kgf]
　Ｄ：抗力（有害抗力＋誘導抗力）[kgf]
　Ｗ：重量（質量）[kg]

「E-M理論（エネルギー機動性理論）」の指標であるPs（エネルギー比率）を構成する項目を見ていくと、速度は速い方が良い、推力は大きく、抗力は小さく、重量は軽い方が良い。
当たり前です。
では、速度に重量で割った（推力－抗力）を掛けた値は何を示すのか？

二つの力(ちから)の単位系

推力と抗力は力（ちから）です。その単位にはSI単位系のN（ニュートン）ではなく、重力単位系のkgf（キログラムフォース）を使用します。
現在の高校や大学では重力単位系は基本的に教えらていなく※２、SI単位系（N）で統一して教えられている、とのこと。
しかし、Psでは重力単位系を使用することに意味があります。
そして、力がkgfなら重量（質量）はkg、力がtonfなら重量（質量）はtonを使用します。

ボイドが「エネルギー機動性理論」を提唱した時代、米国もヤード・ポンドからの重力単位系が使われているので、lbf（ポンドフォース）とlb（ポンド）になります。

※２．[kgf][kg重（キログラムじゅう）]、さらにそれ以前は単に[kg][ton][lb]と表記。
重量（質量）との区別は文、話の前後から判断。
重力単位系は、「日本では、1999年10月以降は、重力単位系に属するすべての計量単位は、法定計量単位ではなくなり取引・証明に用いることは禁止されたので、これ以降は使われていない。」出典：Wikipedia「重力単位系」
そのため、規定する物理量を継続性から変えることができないため、規定の表記単位をSI系へ改定すると「981Ｎ」（元の表記は100kg）などの不自然な値になりました。

エネルギー機動ダイアグラムのプロット手順

高度[m]の設定

作成するダイアグラムの高度を設定します。
フライトエンベロープは縦軸が高度で全ての高度を網羅しますが、エネルギー機動ダイアグラムの１枚は特定の高度の性能を示します。

速度Ｖ[m/s]と旋回[Ｇ]を設定しダイアグラムへプロット

次に速度[m/s]と旋回[G]を設定します。
高度から音速[m/s]が分かるので速度Ｖ[m/s]をダイアグラム横軸のマッハ数に変換します。
速度[m/s]と旋回の加速度[G]＝Gx9.806[m/s^2]の円運動から旋回率[rad/s]が求まり、旋回率の単位をダイアグラム縦軸の[度/秒]へ変換します。
これにより、ダイアグラム上の一点が定まります。

推力Ｔ[kgf]と機体重量Ｗ[kg]の設定

機体性能である推力Tと機体重量Wの値を設定します。
推力は海面静止推力を設定高度、設定マッハ数での値へ補正したもの。

抗力Ｄ[kgf]の算定

高度から空気密度ρが分かるので動圧（1/2ρＶ^2）が求まり、揚力、抗力の空力計算が可能となります。
抗力は有害抗力と誘導抗力を足したものです。誘導抗力は揚力により変動しますが、旋回Ｇを決めているので揚力、および揚力により発生する誘導抗力は求まり、抗力Dを算定します。

Ps(エネルギー比率)の算定

以上から、V、T、D、Wが定まりPs値は定義式より求め、ダイアグラム上のプロット点のPs値を決定します。
※上記のプロット、計算手順は一例です。

余剰推力が0およびプラスマイナスの状態とは

余剰推力（Ｔ－Ｄ）の取る値は、
　（Ｔ－Ｄ）＜０
　（Ｔ－Ｄ）＝０
　 ０＜（Ｔ－Ｄ）
のどれかになります。※３
（Ｔ－Ｄ）が０より大きい場合、推力に余裕（余剰）があり、最初に設定したＧの旋回をしていても、さらに増速、上昇が可能な状態です。
逆に（Ｔ－Ｄ）が０より小さい場合は、抗力が推力より大きく空力ブレーキが掛かっている状態です。減速していくか、減速がいやなら降下をしなければなりません。
（Ｔ－Ｄ）＝0は、推力と抗力が均衡し水平等速旋回の持続が可能ですが、それ以上のことはできません。

※３．（その瞬間）同じ高度で同じ速度で同じＧで旋回をしても、抗力Ｄは機体の空力性能で決まり、推力Ｔはエンジン性能から決まるので、ダイアグラム上のプロット点が同じでも、機種により(Ｔ－Ｄ）の値は異なります。

余剰推力／重量(質量)＝加速度

Ｐｓの式は、余剰推力(Ｔ－Ｄ)を機体重量Ｗで割っています。これは、航空機（特に戦闘機）の性能解説で使われる「推力重量比」の余剰推力版です。

余剰推力を重量で割ると何になるのか？
SI単位系の力[N]を重量（質量）[kg]で割ると加速度[m/s^2]になります。
重力単位系の力[kgf]を重量（質量）[kg]で割ったものは無次元量の加速度[G]※４になります。
加速度[m/s^2]の値を約9.8で割ると加速度[Ｇ]になります。

余剰推力が、０およびプラス、マイナスならば余剰推力による加速度も０およびプラス、マイナスになります。
そして、（その瞬間）同じ高度で同じ速度で同じ推力で同じ抗力で同じＧで旋回をしても、機体重量は常に一定ではないので、余剰推力/重量の値は「個々の機体固有の機動性の状態」を示すものであることが分かります。

※４．（赤道、高度０の）地球の重力によって物体が落ちるときに生じる加速度＝9.80665[m/s^2] を基準とした単位。
余剰推力/重量の加速度[G]は、直線運動の速度が増減する加速度運動。
旋回[G]は、速度ベクトルの方向が変えられていく円運動の加速度運動。

余剰推力／重量に速度を掛けたPs値

余剰推力を過不足無く利用した上昇

余剰推力を使って上昇することを考えます。この時の条件は速度は維持したままで余剰推力を最大限利用した上昇とします。その時の上昇角は何度になるのか？上昇率は？
上昇角θで上昇すると、θ度の坂道を登ると同じで重力の速度方向成分は減速方向に働きます。
余剰推力を過不足無く利用した上昇とは、
　余剰推力加速度＝重力加速度(速度方向成分)
になることです。
幾何学的な関係は、図２になります。

上昇角θのsinθ

図２に示すように垂直方向の重力加速度を重力加速度(速度方向成分)と重力加速度(速度直交方向成分)に分解します。この中に上昇角と同じθが存在します。
sinθは、重力加速度(速度方向成分) / 重力加速度(垂直方向成分)になり、[Ｇ]で整理すると分母の重力加速度(垂直方向成分)は”１”なので、
　sinθ＝重力加速度(速度方向成分)
さらに、
　sinθ＝余剰推力加速度＝余剰推力/重量
になります。

上昇率＝速度・sinθ

上昇率は、速度と上昇角の幾何学から、
　上昇率＝速度・sinθ
で求まるので、sinθ＝余剰推力/重量を代入すると、
　上昇率＝速度・余剰推力/重量
になります。

速度と余剰推力を掛けて重量で割ると

Ps(エネルギー比率)の定義式に戻り、これらを並べると、
　Ps(エネルギー比率)＝速度・(推力－抗力)/重量＝上昇率
になります。
ここで、速度単位が[m/s]なら上昇率は[m/s]、速度単位が[feet/s]なら上昇率は[feet/s]になります。

何故、エネルギー機動ダイアグラムのプロットを上昇率にしたのか

横軸速度、縦軸旋回率、旋回加速度と旋回半径の補助線からなるエネルギー機動ダイアグラムのフォーマットへプロットする０ラインとプラス、マイナスラインは、上昇率以外でも可能※５です。
では、何故、上昇率なのか？
ボイドの「エネルギー機動性理論」の構築は、第四世代戦闘機が現れる以前です。垂直上昇を継続できる大推力エンジンの加速度が機動マネージメントの要素になる第四世代戦闘機と違い、加速度は速度の増加、維持をさせるものでした。実際の空中機動で機体のエネルギー（速度エネルギーとエンジンによる速度維持能力）を実感するのは、計器で測定できるのは上昇角度、上昇率だったと考えます。

※５．余剰推による力加速度[Ｇ]の０プラスマイナスラインをプロットしたエネルギー機動ダイアグラムは、「Ps(エネルギー比率)のバリエーション」を参照。

補足－大角度、垂直上昇の場合は補正が必要

上昇角θが大きくなると、速度と直交する方向の重力加速度成分は１Ｇより小さくなり飛行に必要とする揚力は減少します。揚力の減少は誘導抗力を減少させ、余剰推力を増加させます。
これから、揚力を常に１[Ｇ]として計算したPs(エネルギー比率)は、厳密には上昇率になりません。
また、余剰推力/重量が”１”を超える場合（高度0mの第四世代戦闘機など）、そのまま計算すると上昇率は速度以上の値になってしまいます。

Ps(エネルギー比率)は上昇率で定義されるものではなく、Psは定義式で求める値で、直観的に捉えるならば上昇率に相当するものと言えます。

リニューアル

この頃、「目次（インディックス）」を追加して構成を整理したり、図の手直し、誤記修正をしています。
数年前、自分はこんなものを書いて、描いていたのかと思いながらちょこちょこと手を入れています。
今回の上昇率も図の手直しが構成全体へ波及しました。
重力単位系のことも、より詳細にしました。
（重力単位系で説明しないと定義式から上昇率まで行けない）
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